電影《沙丘》的沙子是流體還是固體？談談顆粒流的物理學

然而，即使顆粒流與我們息息相關，科學家對它的了解卻少之有少。究竟，顆粒體是怎麼流動的？有沒有一個方程式，可以描述顆粒流的行為？中研院物理所的蔡日強副研究員，長年進行顆粒體相關研究，這一次，他希望透過全新的實驗，解開顆粒體的流動之謎！

要如何描述顆粒體的流動呢？是固體？還是流體？ 圖│iStock

萌芽階段的顆粒流研究

不管是固態力學或是流體力學領域，都是「百年老店」，已經累積了上百年的歷史。相較之下，顆粒流的研究非常年輕，僅僅是最近幾十年的事情而已。造成這樣的原因，除了顆粒流本身的複雜性之外，也是因為它的定位，一直處於「三不管地帶」。

顆粒流很特別，它像固體一樣，能夠堆疊、擠壓，可是又會有流動的行為，若只用固體或流體的角度切入，都很難完整描述這樣的現象。然而在學術圈，固體和流體兩大流派，經過上百年的發展，都有各自根深柢固的作法、解讀現象的方式，彼此之間存在著很大的鴻溝。

「在學術界，Solid（固體）的人講 Solid 的語言，Fluid（流體）的人講 Fluid 的語言，兩邊的溝通其實非常少！」蔡日強笑著說「我以前參加過一個應用力學大會，大會裡的會議名稱，直接分成兩種開頭，一種是 S、另一種是 F，擺明了他們討論事情的角度，不是固體就是流體。」

對顆粒流來說，這樣的二分法顯得非常尷尬。蔡日強認為，如果可以從固體與流體領域，各自吸取一些精髓，或許能夠連接兩個學派，用不一樣的角度研究顆粒流！

如何研究「顆粒體的流動」？

為了瞭解顆粒體如何流動，蔡日強設計了一套獨特的實驗方法，可以分為「顆粒體」與「容器」兩個部分。

在「顆粒體」方面，蔡日強採用醫用材料（PDMS），製作出許多顆粒軟球，硬度接近橡皮擦、大小約一公分。為什麼會採用「軟」球來代表顆粒體呢？

過去，在物理學家的理論中，常常會把顆粒體視為「剛體」。然而，剛體的假設在理論上不僅無法呈現顆粒體被壓縮的情況；而且實驗上，也很容易遇到麻煩！

如果採用剛硬的顆粒體做實驗，在緊密排列時，很容易「卡死」，不只完全動不了，也很可能讓珍貴儀器損壞。為了讓顆粒體可以緊密排列，又不會完全卡死讓儀器動不了，可以擠壓、變形的顆粒軟球，就成為了最好的實驗材質。

影片為實驗室展示用，實際操作時液體會淹沒顆粒軟球，保持液體折射率和軟球一致，以便用光學攝影機記錄內部軟球的運動情況（註1）。
資料來源│研之有物

上圖為蔡日強展示顆粒軟球與填充液體折射率一致的情況。 圖│研之有物

至於在「容器」方面，蔡日強在裡面設計了齒輪狀的錐形圓盤：上方的錐形圓盤連接馬達，可以不斷旋轉；齒輪狀可以咬住顆粒軟球，帶動容器內的顆粒軟球一起轉動。

設計成錐形的用意，則是可以讓容器內的顆粒體，不論在什麼位置，切變率（shear rate）都可以維持一致。簡單來說，錐形圓盤試圖讓讓整體流動盡可能「均勻」，讓相鄰顆粒之間的速度不至於落差太大（註2）。

齒輪狀的錐形圓盤，為了讓軟球盡量保持一致的切變率。 圖│研之有物

每一次的實驗，錐形圓盤都會進行定速轉動（固定角速度，Ω），施以所有顆粒軟球固定的切變率。同時，研究團隊也會記錄，在馬達固定轉速時，系統需要多大的轉矩來對抗馬達。但初步實驗即出現了非常匪夷所思的現象！

匪夷所思的實驗結果

顆粒軟球實驗的示意圖與記錄，不同顏色的曲線記錄了顆粒軟球在不同轉速下的轉矩變化。 圖│研之有物（資料來源│蔡日強）

從上圖的實驗數據顯示，在低轉速時（Ω = 0.0001 rps），系統產生的轉矩最高；在高轉速時（Ω = 0.05 rps），產生的轉矩反而偏低。

這是什麼意思呢？你可以想像你在攪拌一碗綠豆，當你攪得愈慢，遇到的抵抗卻愈大；攪得愈快，遇到的抵抗反而愈小，聽起來是不是有點不合常理？

更奇怪的是，在兩種轉速之間，也就是中等轉速（Ω = 0.005 rps）的時候，轉矩出現了不規則劇烈起伏。從圖中的藍線可以看到，轉矩一次又一次的爬升、跌落、再爬升、再跌落，就像小型地震一樣，出現了大規模的「集體崩落」！

從鏡頭中看崩落現象

團隊在實驗時同步攝影，儀器每轉一定的角度（比如：每萬分之一圈），就將顆粒流的剖面擷取成影像。

實驗時容器內部剖面的圓球運動情況，顆粒軟球有加螢光染料顯影。
資料來源│蔡日強

接著，將相片中每一格像素轉為對應數值，分別與上一時刻的照片相減，來得出顆粒體與上一時刻間的「差分影像」。

差分影像（State α）：高轉速，承受轉矩小。其中：紅色表示顆粒由此側離開，藍色表示顆粒向此側接近。
資料來源│蔡日強

差分影像（State T）：中轉速，轉矩劇烈起伏，有集體崩落現象。其中：紅色表示顆粒由此側離開，藍色表示顆粒向此側接近。
資料來源│蔡日強

差分影像（State β）：低轉速，承受轉矩大。其中：紅色表示顆粒由此側離開，藍色表示顆粒向此側接近。
資料來源│蔡日強

藉由這些時變圖，我們得以更明確地判讀顆粒體的運動方式，了解顆粒軟球位移的方向、快慢、範圍。從影像中可以看到，相較於高轉速與低轉速，在中等轉速時，確實出現了大規模顆粒球同時位移的現象，綜合以上的實驗數據和影像，團隊總結了幾個問題：

1. 一般而言，流體在速度愈快的時候，阻力會愈大。然而在這次的實驗中，轉速愈快、轉矩反而變小，跟過往認知不一樣。
2. 中等轉速時，為何會出現集體崩落的現象？
3. 有沒有什麼指標，可以預判集體崩落的出現？

這些問題，讓團隊當時感到十分頭痛，蔡日強回憶「剛開始我也覺得怪怪的，不過我們常說，如果你發現一件比較奇怪的事情，那只有兩種可能：一種是你弄錯了，另一種是真的有個新發現了！」

摩擦係數不是常數？

那麼，在顆粒流切變率加快的同時，究竟有什麼物理性質跟著改變了？

為了解決這些疑惑，團隊進行了許多獨立實驗。其中一個關鍵的實驗，就是量測顆粒軟球材質的「摩擦力」。他們採用同樣是 PDMS 材質的半圓柱棒，兩兩接觸並以不同切面速度（U）拖行，觀察過程中摩擦力的變化。

橫軸是拖行速度，縱軸是磨擦係數（摩擦力/正向力）。 圖│研之有物（資料來源│蔡日強）

結果發現，當拖行速度較慢的時候，摩擦係數大約保持在定值，基本上就跟大家過往的認知一樣。但有趣的是，當速度超過一個臨界速度（V_C）之後，摩擦係數卻像是坐溜滑梯一樣開始下降，換言之，顆粒軟球的表面突然「變滑了」。

從這個實驗可以確定，摩擦係數並非定值，而是會隨著速度增加而改變的數值。其實，「摩擦係數不是常數」的概念，並非什麼驚天動地的新發現，但過去許多顆粒流的研究，卻忽略了這個基本現象，只把摩擦力當成一般常數看待。

"「摩擦係數不是常數」並非新觀念，但大家似乎都忘記這件事了。"

而當我們把這個概念，重新應用在顆粒流實驗時，那些匪夷所思的現象，突然都有了合理的解釋！根據團隊的推測，當錐形圓盤轉速加快，快到一定程度的時候，有些顆粒軟球之間的速度，可能已經超過了 V_C，導致顆粒軟球摩擦係數下降，才會讓量到的轉矩降低。而「集體崩落」的發生也可能是如此。

崩落現象的風向球：「slipperiness」

有沒有可能推估，顆粒流系統在受力之後，到底會偏向固體？流體？或是發生崩落現象呢？

為此，團隊創造了一個無因次量（不帶物理單位的參數），姑且稱為「slipperiness」，希望可以做為顆粒流行為的「預測指標」。

Sℓ 代表 slipperiness，定義為顆粒直徑（d）乘上切變率，再除以臨界速度（VC）。 圖│研之有物

slipperiness 可以大略解讀成系統「平均而言有多滑」，代表了顆粒之間相對速度與臨界速度 V_C 的大小關係，以及摩擦係數減損的程度。

換言之，如果 slipperiness 遠大於 1 ，代表大部分顆粒體之間的速度大於 V_C，摩擦係數近乎消失，難以構成橫向的受力，呈現幾乎「自由」的滑動，在這種情況下，顆粒體之間的液體成為阻力的主角，顆粒體的行為會比較偏向「流體」。

反之，如果 slipperiness 遠小於 1，顆粒體之間相對滑動即使有，速度也都不高，這種情況下摩擦係數接近定值，顆粒體之間可以很容易「消化」所有方向的力，扮演好整個系統承力的主角，顆粒體的行為會比較偏向「固體」。

然而，如果 slipperiness 剛好「不大不小」，代表這兩種極端情形有可能混搭，以局部或整體的方式交錯產生。最戲劇化的事件就會是前述的「集體崩落」，更正式的名稱可叫做「間歇流」。這危險區間的確切範圍，則有待更多細節來決定。

圖│研之有物

但有了 slipperiness ，蔡日強團隊至少搭出了第一座「橋梁」，連結過去難以相容的兩種觀點來看待顆粒流：一端是摩擦力完全沒打折，可視為「固體」（solid）；另外一端，則是顆粒間摩擦力喪失殆盡，已經「完全液化」，可視為「流體」（fluid）。

"然而，顆粒流的兩個極端之間其實有相當的過渡地帶，並不在原來習以為常的學術傳統裡。"

雖然已發表的實驗還是非常簡化的版本，但蔡日強表示希望能透過論文提醒大家「摩擦力會改變」這件事，也希望拋磚引玉，「讓固體跟流體兩個學術社群，能夠有更多的對話」。

研究的下一步

現階段，團隊正著手改良實驗儀器並設計更多延伸實驗。舉例來說，如果顆粒軟球不一樣大，會發生什麼事？如果顆粒軟球不是圓球，行為會如何改變？如果軟球之間開始壓得不夠緊密的時候，「間歇流」的現象是否消失？這些問題，都是研究團隊接下來想了解的。

藥丸形狀的顆粒也許是團隊下一階段的研究對象之一 圖│研之有物

團隊也正積極透過電腦模擬，研究顆粒體在「無重力、無液體，僅考慮接觸力」的理想環境下，會有什麼樣的流動行為。

蔡日強說道「在實體實驗中，我們只有六個感測器可以推算顆粒流系統的受力反應，但在電腦模擬實驗中，等於有上千個感測器可以蒐集數據，真的是太棒了！」每一顆小球的受力、接觸、旋轉、位移等，在模擬中都看得一清二楚，讓團隊有機會作進一步的推論。

此為電腦模擬在中等轉速下的顆粒流變化。顆粒球之間的彈性能以顏色長棒標示，愈偏紅色那端、彈性能愈大、球和球之間愈緊；愈偏藍色那端、彈性能愈小、球和球之間愈鬆，顏色間的能量級距高達 10 的數次方 。影片中可以看到顆粒球發生集體崩落現象的「瞬間」，原本有很多紅橘色長棒，崩落之後幾乎都變成藍或綠，但長棒的數量只有些微增加，顯示彈性能隨著崩落事件大量釋放。
資料來源│蔡日強

下圖是團隊正在統整的「三態圖」，顆粒流有三大區塊，分別是「固態」、「液態」，以及下方的「氣態（懸浮態）」。在緊壓（高密度、高壓力）的狀況下，固態和液態兩極端之間呈現一條「危險走廊」，可看到此案例在 slipperiness 介於 0.001 到 1 之間，發生集體崩落的現象。

「顆粒體三態」的示意圖，縱軸為每顆球「接觸多少鄰居」的平均值，橫軸為 slipperiness。接觸鄰居愈多，表示顆粒之間愈密合。反之，若接觸鄰居低於 2，就很難維持力學結構了。介於固態（紅）和液態（綠）兩個極端之間的過渡帶（橘），正是前述「集體崩落」現象發生的地方，也就是「間歇流」！ 圖│研之有物（資料來源│蔡日強）

不久之前，蔡日強也開始翻閱地震相關的書籍，想要了解顆粒流「集體崩落」的現象，與真正的地震和土石流，是否有可以互相參照的可能性？蔡日強的期待是讓「顆粒流研究」成為物理學家走入現實世界領域的另一個起點。

「我們離真正的戰場還很遠」，蔡日強笑著說：「但這一切，才正要開始！」

蔡日強（左1）與研究團隊嘗試用新的方式描述顆粒流行為，並為固體與流體兩個歷史悠久的學術領域，搭建出溝通的橋樑。 圖│研之有物

註1：液體折射率和軟球一致是為了讓光線走直線，而不被球的表面偏折。這些膠球還會加上螢光染料，以便在光學攝影機下觀察。

註2：切變率：在此指的是顆粒水平速度隨高度的變化率，更廣泛的定義參見延伸閱讀〈流沙、地震、土石，與沙漏裡的物理：「動靜之間」〉。

本文轉載自《研之有物》，一個串聯您與中央研究院的科普橋梁。